第一百一十章 IMO第一场（2 / 2）

难——这才是奥数竞赛应该有的样子不是么？

摆正姿势摆正心态，张伟开始对第三题进行深入的审题：

N为正整数集.在N上定义函数?如下：

?（1）=1,?(3)=3,且对n∈N有

?(2n)=?(n),

?(4n+1)=2?(2n+1)-?(n),

?(4n+3)=3?(2n+1)-2?(n).

问：有多少个n∈N，且n≤1998使得?（n）=n?

这题给出的条件还是非常多的，但是数学这东西，有时候已知的条件多，可并不见得是好事。

排除纯粹作为无用干扰项的可能，已知条件越多，通常意味着接下来的运算或者推理过程越复杂。

这一题就是个典型。

张伟没有上来就找公理定律什么的，他觉得这一套在这里行不通。

他通过题目已知的几个函数等式，先列举出了一段结果，即在给出n的数值的情况下，算出对应?(n)的数值：

n1234567891011121314151617

?(n)113153719513311715117

如果换了普通人，看到这张表恐怕会更加懵逼，因为这看起来只是两串杂乱的、毫无规律的数字。

但是这两串数值真的是毫无规律吗？

数学有一种独特的美，这种美叫做“规律”；而数学的美往往隐藏的如此之深，让一般人根本无从发现。

很多人因为发现不了数学之美而厌弃数学，而也有极少数的人长了一双善于发现数学之美的眼睛，他们因此而爱上了数学！

张伟不确定自己有没有爱上数学，但他很确定自己有一双发现数学之美的眼睛：

?2k=1，?2k-1=2k-1，?2k+1=2k+1

没有公式，没有定理，只能用一双眼睛，用数学归纳法来找到这种规律：?(n)的值是将n用二进制形式表示，再将他反向得到的二进制数值（例如11=1011，?（11）=1011=13）。

引入二进制后，使张伟解答这道题找到了可能。

得出?(n)的规律，再在此种规律下考虑?(2n)、?(4n+1)、?(4n+3)的情形。

假设论证的过程是复杂的，但再复杂的推理计算，也必然要遵循数学的规律，掌握了这些规律，在数学的赛场上你就是神！

由?(2n)=?(n)可知?2k=1成立；

假设n=4m+1的形式，设：4m+1=......与猜想吻合。

假设n=4m+3的形式，设：4m+3=......与猜想吻合。

故证明猜想。

在这场数字的游戏中，张伟如神祇一般操控着一切，将纷繁的局面抽丝剥茧，大胆假设、小心求证，最后终于得出结论：

现在我们找出1到1988之间有多少数的二进制是左右对称的，由于1024<1988<2048，所有1位到11位的二进制数中能表示左右对称的数有：1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94个，其中1988=（11111000100），超过1988的对称的二进制数有（11111011111），（111111111111）。所以不超过1988，?(n)=n的个数的94-2=92.

得出结论，打完收功，张伟看看时间——十点半不到！

四个半小时的考试时间，才用了刚刚好一半！